GeoGebra/Vektorrechnung

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Ktip.png IDEE: Die mit dieser Glühbirne markierten Arbeitsblätter existieren noch nicht. Das Wiki ist auch mein Notizzettel, auf dem ich mir Ideen notieren kann.

Leider kann GeoGebra nicht der 3-dimensionale Raum dargestellt werden - mathematisch ℝ3. Viele Prinzipien sind aber im ℝ2 identisch wie im ℝ3 und deshalb kann ein Teil der Theorie auch in GeoGebra bearbeitet werden. Man muss das recherische dann nur von 2 auf 3 Koordinaten übertragen.

Mit dem kommenden GeoGebra 5.0 kann sich der Unterricht zur Vektorrechnung aber womöglich wandeln. Dinge die vorher nur theoretisch behandelt wurden sind nun praktisch durchführbar. Ideen für neue Aufgaben gibt es im folgenden.

Wie man mit GeoGebra 3D umgeht wird auf dieser Seite notiert: Vektoren und Vektorechnung in GeoGebra 3D

GeoGebra 3D und eine neue Art von Aufgaben in der Vektorrechnung?

Inhaltsverzeichnis

Einführung Vektoren

3-dimensional

  • Aufgabe: Zeichnet mindestens einen räumlichen Körper, der die gegebenen Maße hat. Bestimmt dazu die Koordinaten im Kopf und probiert zeichnerisch aus, ob eure Punkte richtig liegen. Zum Abschluss der Zeichnung verbindet die Eckpunkte mit Linien oder zeichnet die Flächen.
    • Quader
    • Quadratische Pyramide
    • Erweiterung:
      • Zeichnet eines von beiden mit ebener Grundfläche aber verdreht.
      • Zeichnet eines von beiden mit schräger Grundfläche.


Addition von Vektoren

Einführung in die Addition von Vektoren

  • Ktip klein.png Vektoren als Summe von Basisvektoren: ...
  • Ktip klein.png Länge von Vektoren in 2D
  • Ktip klein.png Länge von Vektoren in 3D
  • Ktip klein.png Anwendung: Kräfteaddition in der Physik (zusammen mit Phun/Algadoo?)
  • Ktip klein.png Aufgaben: Lösung von Gleichungssystemen, Determinaten?
  • Ktip klein.png Aufgabe: Berechnet und zeichnet die Vektoren, die die Seite der folgenden Körper ausbilden.
  • Ktip klein.png Aufgabe: Vervollständigt die Zeichnung zu den geforderten Körpern. Finde dazu Vektoren, die von den vorhandenen Punkten zu Fehlenden zeigen.

Geraden

  • Leere GeoGebra-Datei mit Hilfsmittel zum Anzeigen von Geradengleichungen und Ausgabe der Vektorenschreibeweise.
  • Von Beispielobjekten kann man Formtate übertragen.
  • VektorPlus gibt einen Vektor mit den richtigen Koordinaten aus. Leider muss der Vektor noch formatiert werden.
  • Geradengleichung gibt die Gleichung einer Geraden anhand von zwei angewählten Punkten aus.
  • GeoGebra-Datei zu der Aufgabe: Zeichne eine Gerade zur gegebenen Gleichung. Die Punkte A und B können verschoben werden. Die Gleichung wird angezeigt.
  • GeoGebra-Datei zur Demonstration, dass eine Gerade viele Gleichungen haben kann.
  • Ktip klein.png Aufgabe: Gegeben sind zwei Punkte A und B im Raum und die Gerade die durch die beiden Punkte verläuft. Bestimme 6 weitere Punkte, die auf der Gerade liegen. Zwei davon sollen zwischen A und B und jeweils zwei weitere auf der einen bzw. der anderen "Seite" der beiden Punkte liegen (siehe Bild).

Lagebeziehung von Geraden

Ebenen in Parameterform

  • Ktip klein.pngAufgabe: Finde zu drei gegebenen Punkten A, B und C sechs weitere Punkte, die der gleichen Ebene liegen.
  • Ktip klein.pngAufgabe: Stelle fest, ob der Punkt D in der gleichen Ebene sind wie die Punkte A, B und C??????

Lagebeziehung von Ebenen und Geraden

  • Ktip klein.pngAufgabe: Finde durch probieren den Punkt heraus, der auf der Ebene liegt, aber möglichst nah am Punkt P liegt. Zeichne eine Gerade durch P und den gefundenen Punkt. Welche spezielle Gerade ist das?



Gleichungssysteme

  • Ktip klein.png GeoGebra-Tabellenkalkulation: Arbeitsblatt zur Lösung eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten (Schnitt Gerade und Ebene). Visualisierung der Lösung in 3D-Zeichenbereich zur Verdeutlichung spezieller Lösungen.

Ebenen in Koordinatenschreibweise

  • Ktip klein.png Spezialfälle ... welche Bedingungen müssen bei den Faktoren a,b und c gelten, damit die Ebene eine besondere Lage hat.
  • Schnittpunkte mit Achsen

Skalarprodukt

Arbeitsblatt um die Eigenschaften des Skalarproduktes kennen zu lernen. Dabei können die Auswirkungen durch Winkel zwischen dne Vektoren und der Länge der Vektoren untersucht werden.
Hier kann ausprobiert werden, wie sich der Cosinus, der in der Definition des Skalarproduktes vorkommt, auswirkt. Dabei geht es unter anderem um das Vorzeichen.

Ebene in Normalenform

Multiplikation mit Matrizen

Arbeitsblatt mit der untersucht werden kann, wie die Werte einer Matrix sich bei der Multiplikation mit einem Vektor auswirken.
Hier kann untersucht werden, welche Matrizen welche Art der Abbildung bewirken. Dabei wird ein Dreieck ABC und das Dreieck A'B'C', dessen Punkte sich aus Multiplikation der Ortvektoren mit der Matrix ergibt.
Arbeitsblatt, mit dem die Ergebnisse einer Multiplikation von zwei 2x2 Matrizen überprüft werden können.
Hier soll überprüft werden, ob die Multiplikation zweier Matrizen, die ja jede für sich eine Abbildung darstellen, auch eine Verküpfung von Abbildungen ist.
  • Aus 3D mach 2D
Ziel dieses Abschnittes soll es sein, eine Abbildungsmatrix zu finden, die aus Punkten mit drei Koordinaten einen Punkt mit zwei Koordinaten macht. So können auch 3D-Bilder in der Ebene von GeoGebra dargestellt werden.
Wie schon gelernt sind es die Abbildungen der Basisvektoren, die bestimmen, was bei einer Abbildung passiert. So kümmern wir uns erst einmal um die Basisvektoren des ℝ3 und suchen nach einer passenden Matrix. Dabei versuchen wir eine der typischen Projektionarten zu simulieren, nämlich entweder Kavalierperspektive, Militärperspektive oder eine isometrische Darstellung. Informationen dazu gibt es auf dem Infoblatt.
Mit der gefundenen Matrix soll nun Körper /z.B. einen Würfel, einen Quader, eine Pyramide) räumlich dargestellt werden. Dazu liefert das Arbeitsblatt die Möglichkeit Punkte mit drei Koordinaten einzugeben, die durch die eingestellte Matrix gleich entsprechend abgebildet werden. Diese Punkte kann man dann mit Linien verbinden um den Körper zu erkennen.
Meine Werkzeuge