GeoGebra und Terme

Ich habe mal wieder in Klasse 8 GeoGebra eingesetzt und zwar an einer Stelle, die sich die meisten nicht so ganz vorstellen können. Denn für viele ist GeoGebra vor allem ein interaktives Geometerie-Programm mit Funktionsplotter. Doch in Klasse 8, wo man sich in Mathe in Rheinland-Pfalz recht früh mit dem Aufstellen von Termen beschäftigt, kann man da schon GeoGebra einsetzen ohne den Begriff „Funktion“ in den Mund zu nehmen.

Ziel ist dabei nicht unbedingt, GeoGebra intensiv einzusetzen, sondern den Schüler zu verdeutlichen, warum die Nutzung von Variablen so sinnvoll ist. Denn früher habe ich die Erfahrung gemacht, dass Schüler lieber mehr mit „richtigen“ Zahlen rechnen, als sich darum zu bemühen, einen einzigen einer Variable aufzustellen.

Wie GeoGebra die Schüler überzeugt, möchte ich an einer Beispiel-Aufgabe zeigen.

Aufgabenstellung: Telefonrechnung

Für das Aufstellen von Termen habe ich mir inzwischen ein kleines Set an Aufgaben zurecht gelegt. Zum einen das Aufstellen von Termen zu zwei verschiedenen Telefontarifen, um diese vergleichen zu können. Nach dem praktischen Thema bearbeiten die Schüler ein eher visuelles aber mehr theoretisches Thema, nämlich die Anzahl der Punkte in Punkt-Mustern. Eventuell kommt als drittes Thema noch eine Optimierungsaufgabe aus dem Buch. Wieder in eine andere Richtung, nämlich was zu Anfassen ist eine Idee aus einem Schulbuch, wo Türme gebastelt werden, die man auch anfassen kann. Die drei letzten Themen werde ich in eigenen Artikeln ansprechen. Alle vier Themen haben ihre Einzigartigkeit und Besonderheit, aber leider ist meist nicht genug Zeit sie alle zu bearbeiten.

Bei den Telefontarifen nutze ich die folgende Aufgabenstellung:

 

 

 

 

 

 

Natürlich lasse ich die Formeln jeweils herleiten, indem ich erst einmal eine Tabelle für bestimmte Werte aufschreiben lassen. Bei größeren und vermeindlich einfachen Werte, wie x=100 kommen schnell Rechenfehler mit den Kommazahlen zustande und so schreibe ich die Rechnung auf, woraus sich ganz leicht der Term ergibt.

An diesen Beispielen zeige ich den Schülern, was A(5) und B(100) bedeutet und auch wie man es ausspricht und berechnet. Ich erinnere sie daran, dass man bei negativen Zahlen, die man für x einsetzen will, eine Klammer verwenden muss und wir gehen natürlich auf die Grundmenge ein. Dabei muss man ja auch unterscheiden, ob ein Wert aufgrund der Aufgabenstellung falsch ist (wie negative Minuten-Anzahlen) oder ob der Telefonnutzer nur „dumm“ ist. Viele Schüler finden nämlich, dass ein Wert x=0 nicht zur Definitionsmenge gehören darf, den bei Tarif A müsste man ja ohne telefoniert zu haben, trotzdem die Grundgebühr bezahlen.

Mit beiden Termen versuchen wir dann rechnerisch herauszufinden, für wenn sich welcher Telefontarif lohnt. Dazu gehört natürlich eine Begründung, die sich nur aus den Taribedingungen ergibt. Meist finden die Schüler bei x=100 die Stelle, wo die Rechnung bei beiden Tarifen gleich ist.

Warum nun Terme mit x verwenden?

Das erste Argument ist noch recht einfach, wird aber von vielen Schüler nicht akzeptiert. Dank der Terme kann ich nämlich recht bequem für beliebige x-Werte die Telefonrechnung ausrechnen, ohne sich noch Gedanken um die Aufgabenstellung machen zu müssen. Aber wenn das Aufstellen von Termen mit Variablen manchmal als zu umständlich empfunden wird, rechnet man lieber einfach so, ohne einen Term mit x zu beachten … im Grunde genommen ist es natürlich sowieso die gleiche Rechnung.

Seit einiger Zeit nutze ich dann aber an dieser Stelle GeoGebra, denn dank dem GeoGebra Grafik-Taschenrechner können die Schüler GeoGebra an dem Smartphone nutzen und alles damit selber ausprobieren.

GeoGebra im Einsatz

Ich nutze GeoGebra am Tablet, auch damit die Darstellung mehr der im Grafiktaschenrechner ähnelt. Das ist in den neuesten Version (Sommer 2017) inzwischen der Fall. Nach dem Verbinden des Tablets mit dem Beamer (mache ich per EZCast Pro)  starte ich GeoGebra und zeige die Stelle, wo man etwas eingibt. Dann gebe ich den Term, den wir für Tarif A herausgefunden haben, so ein, wie wir ihn festgelegt haben. Nach dem Drücken der Return-Taste sieht man nur zunächst einmal nichts, außer dass im Algebra-Fenster der eingegeben Term zu sehen ist. Ich zeige dann den Schülern, wie man die Ansicht skalieren und verschieben kann. Dazu gehört auch das Skalieren einer einzigen Achse. Am Beamer sieht man die Fingerbewegungen nicht, daher muss man das genau beschreiben. Erwähnenswert finde ich auch noch, dass der Graph den Namen A trägt, Was ja der Name meines Terms ist.

Nach dem Herauszoomen sieht man eine Gerade, die die Farbe des Term und den Namen A hat. Hier können wir eine Wiederholung zu den Zurodnungsgraphen aus Klasse 7 einstreuen. Nämlich das Ablesen von Werten für vorgegebene x-Werte. Meiner Erfahrung nach fällt es Schülern zum Ende der Klasse 8, wenn es an die Funktionen geht, teilweise schwer, den Zusammenhang zwischen einem x-Wert zu dem dazugehörigen y-Wert herzustellen, indem sie einfach einen Punkt auf der Graphen betrachten, zum Beispiel für x=25.

Während das Ablesen nach Außenmaß schwer fällt und nur ein ungenaues Ergebnis liefert, bekommen wir genaue Werte für die Telefonrechnung (ich rede noch nicht von Funktionswerten!) wenn ich in GeoGebra genau solche Ausdrücke eingeben, wie sie die Schüler vorher zu den Termen kennengelernt haben. Dazu müsen wir in der Eingabezeile einfach angeben A(25). Das heißt also, dass GeoGebra genau die Sprache beherrscht, die wir in Mathe benutzen.

Nach der Eingabe des zweiten Terms B(x) = 0.2x können wir die Graphen von beiden Termen gemeinsam betrachten und sehen auch genau, wo die Graphen sich überschneiden, nämlich bei dem Wert von x=100, wie wir es vorher schon festgestellt haben. Und der y-Wert entspricht dem Telefonrechnungsbetrag, nämlich 20 €.

Mit dem Hinweis, dass hier natürlich zufälligerweise der Schnittpunkt recht glatte Koordinaten hat, was ja nicht immer der Fall sind muss, zeige ich Ihnen, dass GeoGebra den Schnittpunkt auch berechnen kann, nämlich mit dem einfachen Befehl Schneide[A,B].

Als Abschluss zeige ich den Schülern noch, dass hinter der Berechnung des Schnittpunktes eigentlich nichts andere steht, als das Aufösen einer Gleichung, was wir vorher gerade erst behandelt haben. Ein Schüler kommentierte das dann damit, dass er also so gut wie ein Computer ist. Glücklicherweise meinte keiner, dass wir ja dann das Lösen von Gleichungen nicht mehr müssen.

Abschließende Anmerkung

Den letzten Abschnitt habe ich überwiegend als Lehrervortrag gehalten, was ja manchmal etwas verpönt ist. Mein Ziel war ja auch nicht, dass die Schüler wirklich viel Neues lernen, was wir dann weiter verwenden wollen, sondern eher, ihnen zu zeigen, warum Terme mit x Sinn machen. Das es die Schüler interessiert hat, meine ich daraus erkennen zu können, dass eigentlich alle eingermaßen ruhig waren und scheinbar recht konzentriert zuschauten. Eventuell könnte das natürlich auch daran liegen, dass der Beamer an der Decke des Klassenzimmers noch recht neu ist und sie solche Anblicke noch nicht so gewohnt sind. Mit dieser Aktion erhoffe ich mir als vor allem, dass die Schüler erkannt haben, welches Potential solche Terme mit Variabeln haben, denn man kann damit Werkzeuge wie GeoGebra nutzen und muss nicht alls von Hand rechnen.

Einen kleinen Wermuts-Tropfen hat es natürlich schon, nämlich dass sie trotzdem lernen sollen, alle Termumformungen durchzuführen, obwohl das (nicht vorgestellte) CAS in GeoGebra die Umformungen doch alle sehr viel schneller und genauer durchführen könnte. Hier wäre natürlich eine Stelle, wo man sich fragen könnte, ob eine Modernisierung des Mathe-Unterrichts angebracht wäre? Sicher braucht man an vielen Stellen Kenntnisse um Termumformungen, und die wären dann besonders wichtig, wenn es darum geht, eben diese Terme aufzustellen, mit denen GeoGebra dann die Arbeit erledigt.

Ich denke da immer auch an eine Differenzierung, vielleicht an ein Wahlpflicht-Fach Algebra, wo man neben den Grundlagen der Termumformungen auch die kniffligen Fälle behandeln kann, an denen sicher auch der eine oder andere Schüler Gefallen hätte. Für mich persönlich wird es daher in nächster Zeit darum ghen zu überlegen, wie ich GeoGebra im Rahmen der Termumformungen noch sinnvoll einsetzen kann, außer als einfaches Kontroll-Werkzeug, wo das CAS die Umformungen nachrechnen kann. Wer will kann sich gerne mit Ideen beteiligen ;-).

INFO-BLATT zu GeoGebra

Das Blatt, dass die Schüler da von mir erhalten ist kein Arbeitsblatt, sondern dafür gedacht, dass sie sich ein wenig an die Nützlichkeit von GeoGebra erinnern. Dazu zeige ich Screenshots vom Tablet und ergänze die Ansicht beim Smartphone Grafik-Taschenrechner, damit sehen, wo die Unterschiede sind und sich dann besser orientieren können. Dazu zeige ich das AB auf dem Tablet an und beschrifte mit Beiträgen der Schüler die wichtigen Infos, die zu sehen sind.

Terme in GeoGebra untersuchen

von: B.Lachner

Auf tutory anschauen und bearbeiten

Dieses Arbeitsblatt wurde mit dem Autorentool tutory.de erstellt. Unter https://www.tutory.de/w/131aa450 können Sie das Dokument herunterladen und anpassen (nach Registrierung).

 

 

 

 

 

Anschließend könnten die Schüler als kleine Aufgabe zum Beispiel überprüfen, wie neue oder andere Tarife sich auf einen Vergleich auswirken, indem sie einfach andere Terme angeben und die Graphen vergleichen. Dazu können Sie dann ihr Smartphone nutzen, sofern der GeoGebra-Grafik-Taschenrechner installiert wurde.